« 中学入試問題に挑む | トップページ | Waterfront の傘(その2 壊れたので修理してみた) »

2009年7月18日 (土)

中学入試問題に挑む(その2 解答編)

今回は、前回出した中学入試問題の解答編だ。

まず、問題を再掲する。

【問題】
1辺が6cmの正六角形を下図のように直線でAとBの2つに領域に分けた場合、AとBの面積の比を求めよ

Nyuushiquestion1

解答は以下の通り。

【解答】
下図のように、Aの左側に補助線を引いて三角形Cを作る。Cは一辺6cmの正三角形で、元の正六角形の面積(A+B)の1/6である。

Nyuushianswer1a

Cの面積と(C+A)の面積の比は、(6×6):(6+2)×(6+5)=36:88 である。

何故、このような比になるのか私には直ぐにピンとこなかったが、受験生の常識(公式)らしい。確かに、以下のように図に書いてみると理解できる。

Nyuushianswer1b

上図で、C(三角形abc) と C+A2(三角形abe) の面積比は、底辺長の比と同じなので r:R である。
また、 C+A2(三角形abe) と C+A1+A2(三角形ade) の面積比は、同様に s:S となる。
従って、C(三角形abc) と C+A1+A2(三角形ade) の面積比は
(r+s):(R+S) となる。・・・・・ ナルホド

従って、Cの面積を36とすると、Aの面積は 88-36=52、Bの面積は 36×6-52=164 となり、求めるAとBの面積比は 52:164=13:41 が正解である。

別解として、以下の考え方もある。(もちろん、他にも色々あろうが・・・・)

【別解】
下図のように、Aの部分を2つの三角形 A1とA2に分けて考える。

Nyuushianswer1c

それぞれについて、以下の赤い三角形に対する面積比率を考えてみる。Nyuushianswer1d Nyuushianswer1e

左図でA2は赤い三角形の 2/6=1/3、 
右図でA1は、底辺が 5/6、高さが(6+2)/6=4/3 なので、面積は (5/6)×(4/3)=10/9 である。
従って、A=A1+A2 の面積は、赤い三角形の 1/3+10/9=13/9 となる。
一方、赤い三角形は一辺6cmの正三角形と同じ面積なので、正六角形の面積はその6倍である。
よって、求めるAとBの面積比は 13/9:(6-13/9)=13:41 となる。

どんな問題もわかってみれば簡単だ。 coldsweats01

では。

|

« 中学入試問題に挑む | トップページ | Waterfront の傘(その2 壊れたので修理してみた) »

コメント

コメントを書く



(ウェブ上には掲載しません)




トラックバック

この記事のトラックバックURL:
http://app.cocolog-nifty.com/t/trackback/533640/45663845

この記事へのトラックバック一覧です: 中学入試問題に挑む(その2 解答編):

« 中学入試問題に挑む | トップページ | Waterfront の傘(その2 壊れたので修理してみた) »