中学入試問題に挑む（その２ 解答編）

今回は、前回出した中学入試問題の解答編だ。

まず、問題を再掲する。

【問題】
１辺が６cmの正六角形を下図のように直線でＡとＢの２つに領域に分けた場合、ＡとＢの面積の比を求めよ

解答は以下の通り。

【解答】
下図のように、Ａの左側に補助線を引いて三角形Ｃを作る。Ｃは一辺６cmの正三角形で、元の正六角形の面積（Ａ＋Ｂ）の１／６である。

Ｃの面積と（Ｃ＋Ａ）の面積の比は、（６×６）：（６＋２）×（６＋５）＝３６：８８　である。

何故、このような比になるのか私には直ぐにピンとこなかったが、受験生の常識（公式）らしい。確かに、以下のように図に書いてみると理解できる。

上図で、Ｃ（三角形abc） と Ｃ＋Ａ２（三角形abe） の面積比は、底辺長の比と同じなので ｒ：Ｒ である。
また、 Ｃ＋Ａ２（三角形abe） と Ｃ＋Ａ１＋Ａ２（三角形ade） の面積比は、同様に ｓ：Ｓ となる。
従って、Ｃ（三角形abc） と Ｃ＋Ａ１＋Ａ２（三角形ade） の面積比は
（ｒ＋ｓ）：（Ｒ＋Ｓ） となる。・・・・・ ナルホド

従って、Ｃの面積を３６とすると、Ａの面積は ８８－３６＝５２、Ｂの面積は ３６×６－５２＝１６４ となり、求めるＡとＢの面積比は ５２：１６４＝１３：４１ が正解である。

別解として、以下の考え方もある。（もちろん、他にも色々あろうが・・・・）

【別解】
下図のように、Ａの部分を２つの三角形 Ａ１とＡ２に分けて考える。

それぞれについて、以下の赤い三角形に対する面積比率を考えてみる。　

左図でＡ２は赤い三角形の ２／６＝１／３、　
右図でＡ１は、底辺が ５／６、高さが（６＋２）／６＝４／３ なので、面積は （５／６）×（４／３）＝１０／９ である。
従って、Ａ＝Ａ１＋Ａ２ の面積は、赤い三角形の １／３＋１０／９＝１３／９ となる。
一方、赤い三角形は一辺６cmの正三角形と同じ面積なので、正六角形の面積はその６倍である。
よって、求めるＡとＢの面積比は １３／９：（６－１３／９）＝１３：４１ となる。

どんな問題もわかってみれば簡単だ。

では。